Como jogar Torre de Hanói

A Torre de Hanói é um quebra-cabeça de três torres e uma pilha de discos, cada um de um tamanho. O matemático francês Édouard Lucas publicou-o em 1883. Leva cerca de um minuto para aprender, e esta página é esse minuto.

Objetivo

Você começa com todos os discos empilhados na torre da esquerda, A, o maior embaixo e o menor em cima. Seu objetivo é reconstruir exatamente essa pilha na torre da direita, C.

A torre do meio, B, não é enfeite — é espaço de trabalho. Todo jogo com mais de um disco precisa estacionar discos ali pelo caminho.

Início. Todos os discos estão na torre A, o maior embaixo. Só o disco 1 está no topo da sua torre, então neste momento ele é o único disco do jogo que pode se mover.

Objetivo. A mesma pilha, na mesma ordem, na torre C. A torre B está vazia de novo — ela nunca foi mais que espaço de trabalho.

A, B, C

As três torres, da esquerda para a direita. As letras aparecem embaixo das torres no tabuleiro, e todas as listas de jogadas deste site as usam.

Disco 1

O disco menor. Os números crescem com o tamanho, então num tabuleiro de cinco discos o disco 5 é o maior, lá embaixo.

A → C

Uma jogada: tirar o disco do topo da torre A e pôr na torre C. As listas de jogadas costumam acrescentar também o número do disco, como a que vem abaixo, mas as duas letras bastam sozinhas — numa torre, só um disco pode ser o que se move.

As três regras

1. Mova um disco de cada vez.
2. Só o disco do topo de uma torre pode se mover. Os que estão enterrados sob outros ficam presos até serem descobertos.
3. Um disco maior nunca pode ficar sobre um menor. Um disco pode ir para uma torre vazia ou sobre um disco maior, e para mais lugar nenhum.

• PermitidoDisco 2 sobre disco 3. O disco que você carrega é menor do que aquele em que ele pousa, então a pilha continua em ordem. Soltar numa torre completamente vazia também é sempre permitido.

• Não permitidoDisco 3 sobre disco 1. O disco que você carrega é maior do que aquele em que pousaria. O tabuleiro recusa a jogada, diz por quê e devolve o disco para onde ele estava — nada se perde.

Esse é o regulamento inteiro. Não há regra contra mover o mesmo disco duas vezes seguidas, não há limite de tempo nem de jogadas — você não pode perder. A única pressão é o seu próprio contador.

Como mover um disco

Uma jogada são duas ações: levantar um disco e soltá-lo em outra torre. O tabuleiro oferece três jeitos de fazer isso.

• Tocar ou clicar. Toque numa torre para levantar o disco do topo. O disco sobe para mostrar que está na sua mão, e as torres para onde ele pode ir acendem. Toque no destino para soltá-lo, ou toque na mesma torre de novo para devolvê-lo.
• Arrastar. Com mouse ou trackpad, pressione uma torre e arraste o disco até outra; a torre sob o ponteiro mostra se vai aceitar o disco. No celular, toque em vez disso — um dedo cobriria justamente o disco que está arrastando.
• Teclado. Vá até o tabuleiro com Tab e pressione 1, 2 ou 3 para levantar das torres A, B e C e soltar nelas. Ou use as setas: ← e → escolhem a torre, ↑ levanta e ↓ solta. Esc devolve o disco.

Se o destino tiver um disco menor, a jogada é recusada: a torre pisca, o disco volta para a torre de onde saiu e uma mensagem curta diz por quê. Uma jogada recusada não conta.

Experimente: três discos

Este tabuleiro segue exatamente as mesmas regras do de verdade. Tente quebrar a regra três — pôr um disco maior sobre um menor — e veja o que acontece. Depois termine o jogo.

3

2

1

A

B

C

Toque em uma torre para levantar o disco do topo.

É esse o jogo inteiro.Jogar Torre de Hanói com mais discos →

Exemplo: o jogo de três discos

Três discos são sete jogadas. Aperte reproduzir, ou percorra uma a uma; a tabela acompanha o tabuleiro, e clicar numa linha salta direto para aquela jogada. O disco 1 é o menor, o disco 3 o maior.

3

2

1

A

B

C

3 discos na torre A. Faltam 7 jogadas.Passo 0 de 7

As sete jogadas de um jogo de três discos

Jogada	Disco	De	Para
1	1	A	C
2	2	A	B
3	1	C	B
4	3	A	C
5	1	B	A
6	2	B	C
7	1	A	C

Como vencer

Você vence no momento em que todos os discos estão na torre C na ordem original. O tabuleiro conta suas jogadas enquanto você joga e salva o seu melhor resultado para cada quantidade de discos no seu navegador.

• Dica só aponta a próxima jogada — quem faz é você, então uma partida com dicas ainda pode bater um recorde.
• Uma jogada e Resolução automática jogam por você. A partida termina do mesmo jeito, mas não vai sobrescrever o seu recorde.

Número mínimo de jogadas

Um jogo perfeito de n discos são 2ⁿ − 1 jogadas, e nenhuma solução é mais curta. Cada disco que você acrescenta dobra a duração da partida, mais uma jogada.

O tabuleiro vai até 15 discos, que são 32.767 jogadas. Para qualquer outro tamanho, até os sessenta e quatro discos da lenda original, use a calculadora de jogadas mínimas.

Para onde ir depois

• Jogar Torre de Hanói — comece com três discos, vença uma vez e acrescente mais um.
• Estratégias — a ideia que resolve todos os tamanhos, e o atalho para saber sua próxima jogada.
• Solucionador — travou no meio do jogo? Diga onde estão seus discos e receba todas as jogadas que faltam.
• Calculadora de jogadas mínimas — a contagem de jogadas e o tempo que leva, para qualquer quantidade de discos.
• Ensinando — um plano de aula de 45 minutos com tempos, uma folha para imprimir e instruções para montar um conjunto de papelão.

Perguntas frequentes

Por que o tabuleiro não me deixa fazer uma jogada?

Só duas jogadas são recusadas. Tocar primeiro numa torre vazia é recusado, porque não há disco para levantar. Soltar um disco sobre um menor também é recusado, e o tabuleiro devolve o disco para onde ele estava. Nos dois casos o tabuleiro diz por quê, e nenhum dos dois conta como jogada.

Sou obrigado a usar a torre do meio?

Sim, em todo jogo com mais de um disco. O disco maior só chega à torre C quando todos os discos menores saíram de cima dele e nenhum deles está em C — e o único lugar que sobra para eles é a torre B. A torre do meio não é um desvio; é onde acontece a maior parte do jogo.

Com quantos discos devo começar?

Com três. São sete jogadas, poucas o bastante para ver o padrão inteiro de uma vez. Ponha a quantidade de discos em três na primeira partida e acrescente um a cada vitória — cada disco a mais dobra a duração do jogo, mais ou menos.

Posso devolver um disco direto para onde ele veio?

Pode. Nada nas regras proíbe, e o tabuleiro vai deixar. Custa duas jogadas e deixa o tabuleiro exatamente como estava, então, numa partida que você quer jogar com eficiência, é sempre um par desperdiçado.

Eu perdi se fizer mais jogadas que o mínimo?

Não. Você vence no momento em que todos os discos estão na torre C, não importa quantas jogadas tenha levado. O mínimo — 2ⁿ − 1, que são 7 para três discos — é uma marca para mirar, não uma condição de vitória.